logo

Функциональные уравнения в геометрии

Функциональные уравнения в геометрии

Автор: Жомарт Асель Жомартовна,
магистрант второго курса
ГУ имени Шакарима города Семей,
Восточно-Казахстанская обл., Республика Казахстан

Аннотация: В статье приведены результаты исследования.
Ключевые слова: величина, геометрия, уравнение.

Измерение геометрических величин связано с идеей аксиоматического метода, теорией действительного числа, методами математического анализа. Знакомство учащихся с различными формулами расширяет возможности применения в школьном курсе геометрии аналитического метода. Главная особенность изложения материала – сочетание различных математических идей и методов.

При изучении геометрических задач не всегда удается непосредственно установить прямую зависимость между величинами, описывающими тот или иной эволюционный процесс. Однако в большинстве случаев можно установить связь между величинами (функциями) их изменения относительно других (независимых) переменных величин, т.е. найти уравнения, в которых неизвестные функции входят под знак производной. Эти уравнения называют дифференциальными. Простейший пример:

где f(x) – известная функция, а y=y(x) – искомая функции независимого переменного х. Решения этого уравнения называют первообразными функциями для функции f(x). Например, решениями дифференциального уравнения

являются функции   где С – произвольная постоянная, причем других решений это уравнение не имеет.

Характерное свойство дифференциальных уравнений – иметь бесконечное множество решений. В этом смысле приведенный выше пример типичен. Поэтому, решив дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию некоторого процесса, нельзя одновременно найти зависимость между величинами, характеризующими данный процесс. Чтобы выделить из бесконечного множества зависимостей ту, которая описывает именно этот процесс, надо иметь дополнительную информацию, например, знать начальное состояние процесса. Без этого дополнительного условия задача неопределенна.

Рисунок 1 – Ч. Баббедж (1792—1871).

Ряд геометрических задач, приводящих к функциональным уравнениям, рассматривал английский математик Ч. Баббедж (1792—1871). Он изучал, например, периодические кривые второго порядка, определяемые следующим свойством для любой пары точек кривой: если абсцисса второй точки равна ординате первой, то ордината второй точки равна абсциссе первой. Пусть такая кривая является графиком функции у = f(х); (х,f(х)) — произвольная ее точка. Тогда, согласно условию, точка с абсциссой f(х) имеет ординату х. Следовательно, f (f(х))=х.

Одним из простейших функциональных уравнений являются уравнения Коши: f(x+y) = f(x)+f(y). Функциональное уравнение – уравнение Коши было применено Г. Дарбу к проблеме параллелограмма сил и к основной теореме проективной геометрии. Мы знаем, что функциональное уравнение Коши характеризует в классе непрерывных функций линейную однородную функцию f(x) = ax. Дарбу же показал, что всякое решение, непрерывное хотя бы в одной точке или же ограниченное сверху (или снизу) в произвольно малом интервале, также должно иметь вид f(x) = ax.

Большое количество задач, приводящих к дифференциальным уравнениям, дает механика. Известно, что классической задачей динамики точки является задача отыскания закона движения материальной точки, если известны действующие силы. Не трудно догадаться, что в этом случае второй закон физика Ньютона приводит к дифференциальному уравнению.

В заключении следует отметить, что дифференциальные уравнения играют важную роль в исследовании многих задач, они широко используются в геометрии, механике, астрономии, физике. Это объясняется тем, что весьма часто объективные законы, которым подчиняются те или иные явления (процессы), записываются в форме дифференциальных уравнений.

ЛИТЕРАТУРА

  1. Виноградова И.К. Методика преподавания математике в средней школе. Р-на-Д.: Феникс. 2005.
  2. Глаголев Н.А. Элементарная геометрия. Планиметрия. -М.: Учпедгиз.1564.
  3. Гусев В.А. Методика обучения геометрии.- М.: ACADEMA. 2004.
  4. Давидов А.Ю. Элементарная геометрия.- М.: 35 Дуленова. 1915.
  5. Колягин Ю.М. Методика преподавания математики в средней школе.- М.: Просвещение. 1999 г.
  6. Функциональные уравнения. Квант, 1985.— № 7.
  7. Лихтарников Л.М. — Элементарное введение в функциональные уравнения, М., 1997.
sertificat

Понравился материал? Поделитесь с друзьями!